有关数学形状的故事有哪些

上帝或许不掷骰子，但可能会踢足球｜图片中的数学之美,下面一起来看看本站小编新京报给大家精心整理的答案，希望对您有帮助

有关数学形状的故事有哪些1

人们喜爱图片，总能第一眼就看到它们。我们的大脑不是用来读字母、写数字、做复式记账、编乐谱或解数学方程的，这些都只是人类故事的插曲。人类生存和进化的环境其实更适合被理解和记忆为图像。我们觉得图片趣味十足，能传播知识、便于记忆、给人以启发。

在最早的人类学文化遗址中，蕴合着极其复杂的图像，例如拉斯科洞窟壁画。即使在今天，这些图像也堪称艺术品。图片以生活为基础，把原始社会中的关系拼接在一起，以各种风格和主题勾勒出人类历史的各个阶段，并跨越千古留下了传统和社会的记忆。图片也曾集中反映宗教情感与宗教思考，激发人们把自己单纯作为主体进行内在的思维活动。在所有表现形式中，图片力求再现并概括现实的东西，使之产生瞬间的冲击力——无须记忆，却难以忘怀。

在过去的30年中，人类最伟大的成就之一，就是一些极其简单的规则可以从丝毫没有随机性和不确定性的条件出发，最终导致从任何现实角度上来说都完全无法预测的情况。下文经出版社授权摘编自《科学的画廊：图片里的科学史》，其中分享了三个经典图片中的数学发现故事。

《科学的画廊：图片里的科学史》，约翰·D.巴罗著作，唐静 等译，人民邮电出版社2022年6月。

五个大明星

柏拉图多面体

数学史上最美妙、最独特的发现之一。

——赫尔曼·外尔

多边形就是你在一张平整的纸上画的由直边围成的图形。正多边形的边长相等，内角也相等。尽管有这些限制，正多边形仍然有无穷多种。最简单的例子就是有三条边和四条边的正三角形和正方形了，当然还可以有更多条边。说出任何一个确定的数字，无论它有多大，只要你的铅笔够用，就一定能够画出一个拥有相同数量的边的正多边形。随着边数增大，你用肉眼越来越难以分辨多边形和圆形了。我们可以把圆形想成由无限多条边组成的多边形。总之，正多边形的数量是无限的。

如果我们把注意力从平面多边形转向它在三维空间中对应的概念，那得到的就是凸多面体，即向外凸的多平面立体图形。如果对平面没有特殊要求，那么它们就会产生无数种可能。但是，假设我们把对象限制在正凸多面体上，即各个面完全相同的多面体，那么会有多少种可能呢？

这些图形是莱昂纳多·达·芬奇的画作，收录在意大利数学家卢萨·帕乔利（Lusa Pacioli）1509年出版的《神圣比例》（De Divina Proportione）一书中。图中的正多面体即为5个柏拉图多面体，也属于九大正多面体。其每个面都是相同的正多边形。正十二面体由12个五边形组成。正二十面体由20个等边三角形组成。正八面体由8个等边三角形组成。正四面体由4个等边三角形组成。立方体（或称正六面体）由6个正方形组成。

奇怪的是，总共只有五种正多面体：正四面体（有4个三角形面）、立方体（有6个正方形面）、正八面体（有8个三角形面）、正十二面体（有12个五边形面）、正二十面体（有20个三角形面）。人们已经证实，从二维到三维的变化是有局限性的。欧几里得在《几何原本》的结尾处证明了这五种多面体是唯一可能的立体图形。但希腊人在很早以前就已经知道这件事了，他们把这些称为“柏拉图多面体”，因为柏拉图曾在公元前约350年出版的《蒂迈欧篇》一书中描述过这些立体。在这部著作中，柏拉图开创了把这五种对称形状与宇宙的意义联系起来的先河，他把正四面体和火元素等同起来，把立方体同土联系起来，而正二十面体对应的是水，正八面体对应的是空气，正十二面体对应的是一种很轻的物质（以太）——这种物质构成了星群和天空。

四种星形多面体，有时被称为“开普勒–潘索多面体”。它们是大十二面体（左上）、小星形十二面体（右上）、大星形十二面体（左下）以及大二十面体（右下）

想弄清到底是谁最先发现了正多面体，有点儿像尝试找出是谁发明了火。但是，柏拉图把正多面体的发现归功于雅典的泰阿泰德（Theaetetus），他可能是柏拉图在雅典学院的一个学生。历史学家相信，《几何原本》后几卷中的一些内容完全是由泰阿泰德的发现衍生而来的，还有其他一些记载在欧多克索斯和帕普斯的著作中。一个较早的说法是：“所谓的五种柏拉图多面体其实并不属于柏拉图。其中三个是由毕达哥拉斯发现的，它们被命名为立方体、角锥体和正十二面体。而正二十面体和正八面体是由特埃特图斯发现的。”

文策尔·雅姆尼策绘制，约斯特·安曼 （Jost Amman）雕刻的美丽版画

柏拉图神秘的立体占星学联想一直吸引着西方思想家。开普勒试图在《宇宙的奥秘》这部著作中将柏拉图多面体的五重和谐与天空联系起来。开普勒太阳系的模型用到了所有五种柏拉图多面体，以此描述16世纪时人们知道的六大行星的 轨道。他用柏拉图多面体内切球和外接球的直径之比，来指明行星在自身轨道中离太阳的最大距离和紧挨着的外层行星离太阳的最短距离之比。这就产生了六个 已知星球的五种比例。每个柏拉图多面体都被安排在两个相邻的行星之间。

当内层行星离太阳最远时，行星在柏拉图多面体的内切球上；而当外层行星离太阳最近时，行星在相应的外接球上。当早期的古希腊人最早开始列举组成柏拉图多面体的五种正多面体时，他们把目标限定在凸多面体上，也就是向外凸的多面体。如果我们允许多面体向内凹的话，两个共用一条边的面可以形成小于180°的角，那么就会产生四个新成员，它们被称为正星形多面体，即大星形十二面体、小星形十二面体、大十二面体以及大二十面体。

在文艺复兴时期，工匠们想利用柏拉图多面体图形作为装饰，于是逐一发现了这些新多面体。开普勒也注意到，可以把固定高度的角锥体添加到正八面体、正十二面体和正二十面体的面上，这样的话，角锥体的侧面就会连成一个平面。他由此引出将多面体组合起来的概念，因此它们就有了交叉面，很像三维版的“大卫之星”（犹太教的标记，为两个正三角形叠成的六角星。——译者注）。这些可能性并没有像凸多面体那样被系统化地理解。

直到1810年，法国数学家路易·普安索（Louis Poinsot）的一篇文章中对其进行了说明7，所以这些立体图形也被称为“开普勒–普安索多面体”。其实，纽伦堡著名的金匠文策尔·雅姆尼策（Wenzel Jamnitzer）曾于1568年出版了《几何美学》（Perspectiva Corporum Regularium）一书，书中的图就已经预示到了这些图形。1812年，奥古斯丁·柯西（Augustin Cauchy）才证明，普安索推测的四种立体图形就是三维空间里所有可能的星形多面体8。而这些略显奇怪的英文名字是在更久之后的1859年，由英国数学家亚瑟·凯莱（Arthur Cayley）命名的。

如今，这些多面体对于数学家来说仍然具有美学上的吸引力和几何上的魅力9。一直以来，这些立体图形组成的模型都让人们惊艳于它们的美丽、对称性和简洁10。由此，我们似乎可以理解为什么人类一直执着于找寻身边的有限事物和永恒的几何和谐之间掩藏的超自然联系。这种几何和谐对于人类来说意味着来自宇宙的暗示。

上帝踢足球吗？

巴基球

上帝或许不掷骰子，但可能会踢足球。

——哈里·克罗托

在研究了柏拉图多面体之后，阿基米德马上发现可以创造出13种半正多面体。只要对称地截掉立方体、角锥体、正十二面体、正二十面体和正八面体的顶点，就能创造出这五种相对应的多面体，这就是“阿基米德多面体”。这些多面体的面仍然是正多边形，但这些多边形却不尽相同。它们的顶点都很相似，但面却不完全相同。仿照此法，也可以构建出另外八个阿基米德多面体。我们可以把它们看作继柏拉图多面体和星型多面体之后的第二对称多面体。

达·芬奇所绘的截角二十面体，这是他为帕乔利的书《神圣比例》绘制的插图

人们发现，某一个阿基米德多面体在宇宙中具有极特殊的重要意义，并且在近20年来的化学发展中有着举足轻重的地位。这个特殊的多面体就是阿基米德截角二十面体。它有60个顶点和32个面，每三个面相交于一个顶点，此外还有90条边。32个面中包含20个六边形和12个五边形，所以，每两个六边形和一个五边形相交于一个顶点。这是一种美丽的结构，但对读者来说，比起上述事实，大家马上能想到的恐怕是另一样东西。足球到了近代就变成了这种由黑色的五边形和白色的六边形组成的典型形状。

建筑师理查德·巴克敏斯特·富勒（Richard Buckminster Fuller）在他1949年设计的网球格顶中大量运用了二十面体的几何结构。富勒是一位自学成才的结构工程师，一直以来都努力通过数学上的对称来达到多重优化的目的，比如减少用料、降低组装难度以及加强结构的稳固性。他很欣赏妙用材料的方法，比如，一种材料在某种情况下可能极其脆弱，但只要按照适当的几何构型加以组织利用，就可以达到相当大的强度。蛋壳就是一个大家都熟悉的例子。

阿基米德多面体，都由两种或两种以上多边形的面构成

富勒在1954年的专利文件（专利号：2682235）中的画作

1967年，富勒为蒙特利尔世界博览会设计的美国馆就是一个由网格状球顶构成的建筑，球顶上的面是由五边形和六边形交织构成的截角二十面体。整个建筑令人叹为观止。这是一个关于对称和功能的伟大宣言，建筑的规模和形态引起了很多科学家和设计师的注意，其中就包括哈里·克罗托（Harry Kroto）。克罗托是一位毕生都对建筑和平面设计充满兴趣的化学家。其实，哈里曾是我在英国萨塞克斯大学的同事，当我第一次被任命为讲师的时候，他甚至还坐在评审席上。哈里一直以来都对在特殊情况下碳分子能否在空间分子云里形成长链的问题很感兴趣。

要验证这样一个问题需要两个步骤：首先，在严格控制的实验室环境中创造出类似的链；然后，看是否有空间中的分子和这些人工制造出的链在光谱的特征上相匹配。1985年，哈里加入了理查德·斯莫利（Richard Smalley）和罗伯特·柯尔（Robert Curl）在美国得克萨斯的莱斯大学领导的研究团队，团队中还有研究生詹姆斯·希思（James Heath）和肖恩·奥布赖恩（Sean O’Brien）。他们打算用激光束打碎碳原子团，然后观察遗留物在汽化以后是否会凝聚成一些有趣的新碳聚合物。团队发现，形成的新团都有偶数个原子。在稍微调整了实验之后，他们可以创造出几乎总是包含60个碳原子的原子团。团队试图为实验结果找到一个合理的解释。

《自然》杂志1985年11月14日的封面，庆贺罗伯特·柯尔、哈里·克罗托和理查德·斯莫利发现了碳-60

哈里也百思不得其解，为什么碳会更倾向于形成碳-60的形式呢？这时，他想起了曾为孩子们用纸壳做的小截角二十面体，以及富勒的球顶。他马上打电话给英国的家人确定了自己所做的模型的几何构成。他相信，碳形成的就是截角二十面体，碳原子位于该构型的60个顶角上。哈里做了一个由五边形和六边形构成的纸模型，并在随后的11天里疯狂工作。从1985年9月1日一直到9月12日，他完成了论文并投稿给《自然》杂志。该杂志在9月13日收到稿件后，于11月14日将其刊出，并在封面上刊登了相应的图片。

人们给这些碳原子起过很多名字。起初它被称作“富勒烯”，以纪念“富勒顶”结构为化学做出的贡献；之后还有更不正式的名字——“巴基球”，甚至偶尔也被称为“足球烯”。

这个富勒顶的原型是一个斜方截半九面体，照片拍摄于1954年圣路易斯华盛顿大学

发现新的碳结构是化学界的一次伟大革命，它使无机化学和有机化学联合在一起，并提供了在分子层面上构建物质的新方法。柯尔、斯莫利和克罗托分享了1996年的诺贝尔化学奖。巴基球的对称造型自然而然地成了化学的象征，很多科学杂志都以这一形象为封面，以庆贺碳分子的新发现。这样的盛况恐怕只有当年发现脱氧核糖核酸能与之媲美。

一面之词

默比乌斯带

“小鸡为什么要穿过默比乌斯带？”“为了到另外一……呃……”

——无名氏

把一张长条纸的两端粘在一起，形成一个圆柱体。在上小学时，大家应该都曾做过无数遍这样的事了。这个圆柱体有内侧也有外侧。但是，如果你在把两端粘在一起之前先把纸带扭一下的话，就会创造出一个与众不同的东西。这个环看起来像是一个立体的数字8，并有一个令人震惊的特性——它没有内侧也没有外侧，只有一个表面。如果你用一根蜡笔为这个环染色，那么蜡笔不离开纸带的表面就可以染遍整个环。这一特性甚至会带来商业价值，工厂有时会利用这种单面特性来延长传送带的使用寿命。在20世纪20年代，有人还为默比乌斯幻灯片和录音带申请了专利，这种方法加倍了连续环的长度，而其中的把戏不过是把带子扭曲的部分和滚转机分开。

默比乌斯带

奥古斯特·默比乌斯（August Möbius）是第一个注意到这种有趣的“表面现象”的人，如今数学家们称之为“不可定向曲面”。默比乌斯是德国数学家和天文学家，他母亲一族的祖先甚至可以追溯到马丁·路德。年轻的默比乌斯在测绘和三角法天文学领域取得了一系列成就之后，离开了最初求学的城市莱比锡，来到了德国数学界的中心——哥廷根，并在数学巨匠高斯领导下的哥廷根天文台做起了研究。他又从那里转去哈雷，在高斯的老师约翰·普法夫（Johann Pfaff）的指导下工作。在经历数次辗转后，这位乐于游学的天文学家最后在1848年回到了莱比锡，成为莱比锡天文台的主管和天文学教授。

默比乌斯传送带的早期专利。与传统双面传送带相比，这种单面结构让传送带的使用寿命加倍，传统传送带只有单面可用

默比乌斯对天文学的贡献斐然，但其后半生在数学方面也有了许多新发现，特别是在几何学方面。时至今日，我们仍然在学习源于他的默比乌斯函数和默比乌斯变形。可以想见，作为高斯的学生，默比乌斯在自己的工作成果中设置了很多标准，这让他的所有工作成果的最终成型和发表都很滞后。结果，关于默比乌斯带的论文还是在他死后遗留的论文中找到的，而真正发现默比乌斯带的时间是1858年，当时，他正为“法兰西科学院年度科学大奖”准备一篇关于多面体的文章。在同年7月，默比乌斯带还被另一名德国数学家独立发现，约翰·利斯廷（Johann Listing）也是高斯在物理学和应用数学研究组的学生4。在高斯的建议下，利斯廷开始研究空间结构，而且，为了和他以前的老师在新课题上取得一致，他提出这门学科应该被称为“拓扑学”——这个名称一直沿用至今。然而不幸的是，利斯廷和他的妻子都家境贫寒，经常入不敷出，不时要面对高利贷债主的骚扰。大多数同事认为这对夫妇品行不佳，对他们甚少怜悯。所幸一位老友雪中送炭，在利斯廷濒临破产时，他的老同学萨托里乌斯·冯·瓦尔特斯豪森（Sartorius von Waltershausen）救助了他们。在很久以前，在二人一起读书时，利斯廷曾照顾过这位当时身染重疾的朋友，并救了他一命。30年后，冯·瓦尔特斯豪森得以回报恩人，偿还了利斯廷的债务。这样的命运反转发生在默比乌斯带的发现者身上，不能不说是一桩美谈。

默比乌斯生前未发表手稿中的原始图画（1858年）

默比乌斯带不仅对数学家充满了吸引力，而且激发了众多艺术家和设计师表达无限和完美的渴望。其中最著名的莫过于毛里茨·埃舍尔，他画出的“活”默比乌斯带已经成为20世纪制图术的标志性作品。埃舍尔在默比乌斯带启发下创作的作品中，描绘了9只红铜色蚂蚁在永无止境的带子上爬行。

在埃舍尔画廊中，有《不可能三角形》《瀑布》等主题作品，默比乌斯带也在其中，其外观经常让参观者陷入一种错觉：默比乌斯带是一种不可能的图形。但默比乌斯带确确实实存在，只不过有点出人意料而已。

埃舍尔的《默比乌斯带Ⅱ：红蚂蚁》（Möbius StripⅡ: Red Ants），由红、黑、灰绿色组成的三组木版画（1963年）

埃舍尔并不是唯一挖掘默比乌斯带特性的杰出艺术家，在20世纪30年代，瑞士雕刻家马克斯·比尔（Marx Bill）认为，拓扑学的发展为艺术家们拓展了一片未知的疆域。他以金属或花岗岩为材质，创作了一系列以“无穷丝带”为主题的雕刻作品。

比尔做出了实实在在的三维默比乌斯带。在20世纪70年代，美国高能物理学家兼雕塑家罗伯特·威尔逊用不锈钢和铜做出了类似的默比乌斯带。英国雕塑家约翰·罗宾森（John Robinson）的作品《永恒》（Immorality）是由抛光铜制成的被扭成默比乌斯带的三叶草结。在尼克·米的数码艺术作品中，这个闪闪发光的三叶草结悬浮在一片虚幻的海上（下图）。很多人还把默比乌斯带结构应用在建筑中，创造出叹为观止的建筑物和生动有趣的儿童活动区。

尼克·米虚拟地呈现了约翰·罗宾森的雕塑，被扭成默比乌斯环的三叶草结

小说家们也抓住了机会，把默比乌斯环设计进了奇幻的故事中。1949年，亚瑟·C.克拉克（Arthur C. Clarke）把整个宇宙描述成“黑暗之墙”。把平凡的生活和不可思议之物结合起来更显有趣，正如在阿明·道奇（Armin Deutsch）的短篇小说《一条名叫默比乌斯的地铁》（A Subway Named Möbius）中，波士顿的一条地铁线变成了默比乌斯带，从此，列车经常消失，一位哈佛大学的数学教授被卷入其中……也许这才是故事的关键，这条地铁线可能就是这位教授设计的！

在新材料技术和各种思想突飞猛进的今天，默比乌斯带始终挑战着人们的想象力。无论谁都难逃它的魅力，说不定还有人反而羡慕那些从未听说过默比乌斯带的小孩子呢。

文/约翰·D.巴罗

摘编/李永博

导语校对/贾宁

有关数学形状的故事有哪些2

导读：费马大定理，又被称为“费马最后的定理”。人类前赴后继挑战了三个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。

费马大定理的故事与数学的历史有着千丝万缕的联系，触及数论中所有重大的课题。它对于“是什么推动着数学发展”，或许更重要的“是什么激励着数学家们”提供了一个独特的见解。大定理是一个充满勇气、欺诈、狡猾和悲惨的英雄传奇的核心，牵涉到数学王国中所有的最伟大的英雄。

大约在1637年左右，法国学者费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。” 自此，一场对于费马大定理之证明的追逐与挑战开启，直到英国数学家安德鲁·怀尔斯手中，这个史上最深奥的数学谜题才得以完全解开。《费马大定理:一个困惑了世间智者358年的谜》讲述了怀尔斯经过数年秘密辛苦的工作，终于解决了挑战性的数学问题的艰辛旅程，并来回穿插着历代数学家是如何挑战这个数学之谜的故事。书中既有振奋人心的故事讲述方式，也有引人入胜的科学发现的历史。

费马大定理最早的出处——丢番图的《算术》

文 | [英]约翰·林奇

译 | 薛密

这是一个不寻常的周末，我遇见了一些当代最优秀的数学家，开始深入地了解他们的世界。但是尽管我千方百计地想找到安德鲁·怀尔斯，和他谈话，想说服他参与拍摄介绍他的成就的英国广播公司（British Broadcasting Corporation，简称BBC）的《地平线》纪录片，这却是我们的第一次会面。正是这个人最近宣布他已经找到了数学中的那只圣杯，他声称他已证明了费马大定理。在我们说话的时候，怀尔斯显得有点心烦意乱和沉默寡言。虽然他相当客气和友好，但很显然他宁愿我离他尽可能远一点。他非常坦率地解释说，他除了自己的工作外不可能再集中精力于别的事，而他的工作正处于关键时刻，不过或许以后，当眼前的压力解除后，他会乐意参与。我知道，并且他也知道我知道，他正面临着他毕生的抱负将崩溃的局面，他握着的圣杯正在被发现只不过是一只相当漂亮、贵重但普通的饮器。在他宣布过的证明中他已经发现了一个缺陷。

皮埃尔·德·费马

费马大定理的故事是极不寻常的。我第一次见到安德鲁·怀尔斯的时候，我已经认识到它确实是科学或学术事业中一个最动人的故事。我看到过1993年夏天的头版新闻，当时这个证明将数学推上了世界各国报刊的头版。那个时候，我对费马大定理是怎么一回事只有一点模糊的记忆，但是明白它显然是非常独特的，具有《地平线》的专题影片所需的那种气息。接着的几个星期我用来和许多数学家谈话：那些与这个故事密切相关的，或者接近安德鲁的人；以及那些因直接见证了他们这个领域中的伟大时刻而激动不已的人。所有的人都慷慨地奉献出他们对数学史的真知灼见，他们将就着我仅有的那点理解力耐心地给我讲解有关的概念。很快我就搞清楚了这是一门世界上可能只有五六个人能够完全掌握的学问。有一阵子，我怀疑自己是否疯了，怎么会想去制作这样一部影片。但是从那些数学家那里，我也了解了丰富的历史知识，懂得了费马大定理对于数学以及它的实践者所具有的更深层次上的重要意义。这一点，我想正是这个真实的故事所要演绎的。

我了解到这个问题起源于古希腊时代，也了解到费马大定理可算是数论中的喜马拉雅山顶峰。我接触到了数学的艺术美，并开始欣赏把数学比喻成大自然的语言的说法。从怀尔斯的同代人那里，我领悟到他的工作所具有的把数论中最现代的技巧聚集起来应用于他的证明的非凡的力量。在他的普林斯顿的朋友们那里，我听说了怀尔斯在他孤独研究的岁月中取得的错综复杂的进展。我渐渐地勾勒出一幅怀尔斯和那驾驭着他生命的谜的不平凡的画面，但是我似乎注定见不到他本人。

虽然怀尔斯的证明中涉及的数学是一些当今最艰难的数学，但是我发现费马大定理的美却是在于这样的事实，就是这个问题的本身特别简单易懂，它是一个用每个中学生都熟悉的话来表达的谜。皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）是属于文艺复兴时期传统的人，他处于重新发掘古希腊知识的中心，但是他却问了一个希腊人没有想到过要问的问题，其结果是诞生了一个世界上其他人最难以解答的问题。捉弄人的是，他还给后人留下了一个注记，暗示他已有了一个解答，只不过没有写出这个解答。这场延续了三个世纪的追逐就是这样开始的。

这么长的时间跨度为这个难题的重要性奠定了基础。在任何学科中，很难想象有什么问题表达起来如此简单清晰却能够这么长时间地在先进知识的进攻面前屹立不动。想一下自17世纪以来对物理学、化学、生物学、医学和工程学的了解已经出现了多么大的飞跃。我们在医学上已经从“体液”进展到基因切片，我们已经识别出许多基本粒子，我们已经把人送上了月球，可是在数论中费马大定理仍然未被证明。

在我的研究过程中，有段时间我在探索：为什么费马大定理对不是数学家的人来说也是重要的，以及为什么把它做成一个电视节目是有意义的。数学有各方面的实际应用，而就数论来说，别人告诉我它最使人兴奋的用处是在晶体学、音响调节的设计以及远距离太空飞船的通信中。这些似乎没有一个会吸引观众。真正能激发人们热情的正是数学家们自己，以及他们谈到费马时表现出来的那种深情。

在数学中，绝对的证明是其目标，某件事一旦被证明，它就永远被证明了，不再有更改的可能。在费马大定理中，数学家们遇到了他们在证明方面最大的挑战，发现答案的人将会受到整个数学界特别的景仰。有人提供了奖赏，竞争也十分活跃，大定理有过一段涉及死亡和欺诈的荒唐历史，它甚至刺激了数学的发展。就像哈佛大学的数学家巴里·梅休尔（Barry Mazur）曾提到过的，费马使人们对那些与早期的证明尝试有关的数学领域增加了某种“敌意”。具有讽刺意义的是，结果正是这样的一个数学领域成了怀尔斯最后的证明中的关键。

英国数学家安德鲁·怀尔斯

通过逐步地了解这个陌生的领域，我渐渐地把费马大定理当作数学的中心，甚至相当于数学发展的本身来理解。费马是现代数论之父，自从他的时代以来，数学已经有了很大的发展和进步，并且形成了许多神秘的领域，在那里新的技术又孕育出新的数学领域，并成了它们自身中的一部分。随着几个世纪时光的流逝，大定理似乎越来越与数学研究的前沿无关，而越来越成为仅仅是一个使人好奇的问题。但是现在清楚了，它从未失去过在数学中的中心地位。与数有关的问题，例如费马提出的这个问题，就像游乐场中的智力题，而数学家就像在解答智力题。

对安德鲁·怀尔斯来说，这是一个非常特殊的智力题，是他一生的抱负。30年前，当他还是个小孩，在公共图书馆的一本书上碰巧发现了费马大定理时，他就被这个问题吸引住了。他童年时代和成年时期的梦想就是解决这个问题。在1993年的那个夏天，他第一次宣布他的证明时，他在这个问题上长达7年的全身心投入，以及难以想象的高度集中的精力和坚强决心终于有了结果。他用到的许多方法在他开始探索的时候尚未被创立。他也吸取了许多优秀数学家的工作成果，把各种想法贯通起来，创立了别人不敢尝试的概念。巴里·梅休尔评论说，在某种意义上每个人都在研究费马问题，但只是零星地而没有把它作为目标，因为这个证明需要把现代数学的整个力量聚集起来才能完全解答。安德鲁所做的就是再一次把似乎是相隔很远的一些数学领域结合在一起。

人们对证明的可靠程度的少许怀疑像那个缺陷一样在1993年秋天逐渐显露出来，这一点安德鲁感觉到了。不知怎么回事，全世界都注视着他，他的同事们也要求他将证明公开，只有他知道该怎么办，他没有垮掉。他已经从隐居式地按照自己的步调研究数学突然地转向公开。安德鲁是一个非常不愿公开的人，他尽力使他的家庭免遭正围绕着他刮起的风暴的冲击。在普林斯顿的整整一周中，我打过电话，在他的办公室里，在他的门阶上，还通过他的朋友留了纸条；我甚至准备了英国茶叶和马麦脱酸制酵母作为礼物。但是他婉拒了我的主动表示，直到我要离开的那天才有个机会。我们进行了平静而紧凑的谈话，总共持续了不到一刻钟。在那天下午分手的时候，我们之间达成了一项默契。如果他设法补救了证明，那么他会来找我讨论影片的事；我准备等待。但是在晚上当我返回伦敦时，感到似乎电视节目的事已完蛋了。300多年来，在众多尝试过的对费马大定理的证明中还没有一个人能补救出现过的漏洞。历史充满了虚假的断言，尽管我多么希望他会是一个例外，但是很难想象安德鲁不会是那片数学墓园中的另一块墓碑。

一年以后，我接到了那个电话。历经异乎寻常的数学上的曲折、真知灼见和灵感的闪现，安德鲁最终在他的专业生涯中解决了费马大定理问题。此后又经过一年，我们找到了他能投入摄制工作的时间。这一次我邀请了西蒙·辛格（Simon Singh）和我一起制作这部影片，我们一起和安德鲁度过了这段时光，向他本人了解那7年的孤立研究以及之后的艰难痛苦的一年的完整情节。当我们拍摄时，安德鲁告诉我们（他以前从未对人说过）他内心深处对他所完成的这一切的感受；30多年来他是如何念念不忘他的童年的梦想；他曾研究过的那么多数学是怎么不知不觉地聚集起来，成了他向主宰他的数学生涯的费马大定理挑战的工具；一切又是怎么会总是不一样的。他谈到了由于这个问题不再伴随着他而引起的失落感，也谈到由于他现在得到解脱而产生的振奋感。对这样一个其有关内容在技术上极难为外行听众理解的领域，我们的谈话中涉及情感的成分比我科学影片制作生涯中经历过的任何一次都要多。对安德鲁而言，这部影片是他生命中一个篇章的终结；而对我而言，能与它结下不解之缘则是一种荣光。

这部影片在BBC电视台作为《地平线：费马大定理》节目播放。西蒙·辛格现在把那些深刻的见解和私下谈心，连同详尽的丰富多彩的故事和与之相关的历史和数学一起演绎成这本书，完整和富有启迪地记录了人类思维中最伟大的故事之一。

费马大定理

一个困惑了世间智者358年的谜

作者：[英]西蒙·辛格

翻译：薛密

出版社：广西师范大学出版社

出版时间：2022-02

有关数学形状的故事有哪些3

本文为“2022年第四届数学文化征文活动

阅读《数学的故事》有感

作者：王熙霖

作品编号：001

摘要：《数学的故事》（作者：理查德·曼凯维奇）一书介绍了有关“无穷”的数学知识，作者由此引发联想，并找到例子来佐证作者的观点，同时对于其实用性进行了分析。本文先引出维度与势的概念，再全面分析了“Koch”雪花面积与周长之间的关系、“托里拆利的小号的体积与面积的联系”等实例，介绍了对于某种情况下“降维意味着生势”的观点，将“无穷”概念与“维度”联系起来进一步分析，得出两者确实有关联的结论，并就其是否在生活中有实用价值进行了讨论，最后引发了有关两者辩证统一性的思考。

关键词：无穷 维度 维数 势 降维

1 引言

本文研究了衡量物体的方法中“维度”与“势”联系，综合了前人发现的一些物体的特性，由此提出相对来讲统一的理论，以供将来参考及深度研究。同时将现有关的实用性想法进行分析并得出结论。

2 正文

日常生活中，人们常用“降维打击”形容拥有高端技术的群体进入低端技术群体的领域，对后者形成碾压式的打击，而“维度（别称维数）”这一概念即来源于数学，其是数学中最基础的定义之一。可以说不理解维度，就很难理解数学中更多更重要的概念。实例往往可以帮助认识一些深刻的道理，所以理解它并不难，下面介绍一些关于维度有趣的例子：

2.1 介绍实例

“Koch”雪花是瑞典人科赫在1904年提出的一种维数约为1.26的图形（这对于生活在三维空间的我们一定不难理解），它的作法是从一个等边三角形开始，不断将各边三等分，并取中间的一份作出一个以其为底的等边三角形。我们可以知道，这样的操作可以无限进行下去，而对于这个图形，它的周长也就随之升高并趋于无穷，即对于周长的势在上升。但是对于衡量该图形的另一个标准——面积，却不是接近于的无穷的，换句话说，Koch雪花的面积是收敛到边长平方的五分之二倍根号三的。这里,“面积”相对于“周长”就是一个维数更高的概念，即对于同一个图形来说，在衡量它的标准中维度更高的可以以有限的势来形容，但是周长这一一维的概念就无法给出确切值了，可以理解为当“维”降低，其“势”会升高。

这不是偶然现象，对于我们更熟悉的三维世界，也可以找出这样的例子：“托里拆利的小号”是一个体积趋近于π而表面积无穷的只存在于理想空间的物体，这里“体积”相对于“面积”又是一个高维的概念，同时也恰巧满足维数降低而势升高这一规律。诸如此类的例子数不胜数，却很难找到一个满足降维又降势的反例，目前没有证明两者是否严格保证负相关，但是直观上很容易想到高维度下能用有限的“容器”来包含低维度里无穷的内容，就如小说《三体》中歌者用“二向箔”来将三维世界压缩到二维以消除这个世界的危机。所以不难看出对于高维生物来说，“降维打击”是易如反掌的。

2.2 实用性研究

通过以上的研究与讨论，我们得到了这样的关系：对于事物来说，衡量的标准千千万，但相对高维的标准是有限的，但对应到低维的标准确实无穷才得以衡量。人类是否可以利用这一概念还是未解之题。如此抽象的数学概念是和很难将其运用于实际生活当中的。不过有人提出了将“能源”这一有限资源降维以获取无限资源，从而满足人类活动的想法。可是对于实操却几乎是不可能的，首先，像煤炭，天然气这类的能源，一般不将它们以“维数”衡量，换句话说，将能源“降维”本身就是一件困难的事情，更不用提用它们来驱动机器作业了。另有别用的可能性也不是完全没有，作者相信在努力下是可以深度理解这一辩证统一的关系的，从而将其以更普遍的形式呈现在大众的视角中。

2.3 本研究价值所在

从雪花到小号，再从“维数”到“势”，这里边存在着辩证统一的关系——尽管形状差之千里，但可以找到衡量它们标准的依据之间的关系，这其实也从另一个角度展示了不同事物相互联系的一面，同时也为统一思想提供了新的思路——按照维度与势的关系将事物合并同类项，以帮助人们用更全面的视角来审视所在的宇宙。

3 结论

本文就物体“维度”与“势”的关系进行了研究，得出在一些物体中衡量它们的标准里高维对应着有限，低维对应着无穷的偶然性与必然性，将前人所给出的实例进行归纳总结，并提出作者自己的观点将它们联系起来，得出在某些情形下了“低纬度的无穷”与“高纬度的有限”是有深度关联性的结论，同时也评价了现有的一些有关实用性的观点。但是由于局限性，本文作者还是没有研究到三维以上的实例，所以得出的结论并不具有完全普适性，故本人接下来的学习研究可以将注意力集中于发掘更高维的实例与验证其辩证统一性。